Loggbok, fysikens matematiska metoder, HT08

Räknestuga fredag 24/10, kl 10-12, i sal FB52.

Övning 1 - torsdag 4/9, kl 10-12
Övningen behandlade grundläggande begrepp och metoder inom vektoranalysen. Vi gick igenom gradienten och dess tolkning och användningsområden. Vi gick även igenom parametrisering av kurvor och ytor, samt hur man bestämmer normalen till en yta och tangentvektorn till en kurva.
Uppgifter: 3ab, 13e, 18, 22, 5a, 10.

Övning 2 - fredag 12/9, kl 13-15
Övningen behandlade linje- och ytintegraler. Vi beräknade två linje- och två ytintegraler med hjälp av parametriseringar av kurvorna respektive ytorna. Vi bestämde även potentialen till en vektorvärd funktion och använde denna för att enkelt beräkna värdet av en linjeintegral.
Uppgifter: 28a, 26a, 33a, 34, 30, 29b.

Övning 3 - onsdag 17/9, kl 8-10
Vi räknade några uppgifter på divergensen och rotationen av vektorfält. Jag gick sedan igenom grunderna i så kallad indexräkning. De viktigaste resultaten som jag visade är: komponentnotationen för vektorer, summationskonventionen (dvs. att index som förekommer i par i en term alltid summeras från 1 till 3), uttrycket för gradientens komponenter som partialderivator, samt uttryck för skalär- och kryssprodukterna i indexnotation. Vi räknade ett antal uppgifter som gick ut på att förenkla uttryck som involverar gradienten, divergensen och rotationen av produkter av skalär- och vektorfält med hjälp av indexräkning. Jag hann inte med att gå igenom deltasymbolen (kapitel 4.2 i Matthews) och jag hann inte heller räkna uppgifterna 65abc. Jag kommer att gå igenom detta på övning 4 på fredag, då vi även kommer att fortsätta med mer avancerade uppgifter inom indexräkning.
Uppgifter: 37b, 38, 41, 63abce.

Övning 4 - fredag 19/9, kl 13-15
Vi använde indexräkning för att skriva om ett antal vektorformler på andra former, samt för att kontrollera att ett givet vektorfält är en vektorpotential för ett givet magnetiskt fält. Jag visade även hur en vektors komponenter transformeras vid ett basbyte mellan två kartesiska koordinatsystem. Uttrycket som jag härledde för transformationsmatrisen gäller allmänt vid ett byte mellan två ON-baser. Jag hann inte med uppgifterna 64g, 71 och Ö3a, men de kräver inga nya tekniker som vi inte redan har gått igenom, och kan därför vara bra att räkna själva.
Uppgifter: 64cdf, 70, Ö1a.

Övning 5 - måndag 22/9, kl 15-17
Vi använde Gauss och Stokes satser för att förenkla beräkningen av ett antal flödes- respektive linjeintegraler. Vi fortsatte även med ett antal uppgifter på indexräkning, men introducerade inte några nya metoder. Slutligen hann vi med en av uppgifterna som blev över från förra gången, och som behandlade ett basbyte mellan två kartesiska koordinatsystem.
Uppgifter: 44ab, 46, 57, 68, 158i, Ö3a.

Övning 6 - torsdag 25/9, kl 8-10
Vi fortsatte med Gauss och Stokes satser. Som vi nu har sett ett antal gånger kan beräkningar av linjeintegraler ibland förenklas avsevärt med hjälp av Stokes sats och lämpligt val av sin yta. Viktigt är att ytan är godtycklig, så länge den är enkelt sammanhängande, har kurvan som sin rand och vektorfältet är kontinuerligt deriverbart på hela ytan. Angående uppgiften som jag fick fel svar på så visade det sig att det inte var fel - jag hade bara gjort två fel i mina anteckningar som tog ut varandra, och det svar jag fick fram på övningen överensstämmer med facit (om jag inte gjorde något annat fel...)
Uppgifter: 60, 54, 47, 113, 55c.

Övning 7 - onsdag 1/10, kl 8-10
Vi räknade uppgifter på kroklinjiga koordinater. Vi beräknade gradienten och rotationen av ett skalär- respektive vektorfält i sfäriska koordinater och använde Stokes sats i cylinderkoordinater. Vi bestämde även en skalär- och en vektorpotential i sfäriska koordinater, och använde den skalärpotentialen för att beräkna en linjeintegral.
Uppgifter: 98, 94, 110ac, 103, 105.

Övning 8 - torsdag 2/10, kl 8-10
Den första delen av övningen behandlade transformationer av tensorers koordinater mellan två kartesiska koordinatsystem. En sådan transformation kan alltid parametriseras av tre så kallade Eulervinklar. De två sista uppgifterna handlade återigen om kroklinjiga koordinatsystem, där vi bland annat bestämde basvektorerna för ett givet koordinatsystem, samt bestämde transformationsmatrisen från ett kartesiskt koordinatsystem till detta system. Jag hann bara skissa idén bakom lösningen till uppgift 120, som gick ut på att beräkna en flödesintegral med hjälp av Gauss sats i cylinderkoordinater.
Uppgifter: Ö4, Ö2, 147, 120.

Övning 9 - onsdag 8/10, kl 10-12
Vi började med en uppgift som behandlade hur nya kartesiska tensorer kan bildas av gamla, vilket exemplifierades med yttre produkt, inre produkt samt volymsintegrering av en kartesisk tensor. Vi räknade sen ett antal uppgifter som gick ut på att förenkla olika integraler med hjälp av Gauss och Stokes generaliserade satser.
Uppgifter: 157abe, 160, 72, 74.

Övning 10 - torsdag 9/10, kl 8-10
Vi räknade först ett par uppgifter på Gauss och Stokes generaliserade satser. Sedan gick vi igenom en uppgift som gick ut på att härleda kontinuitetsekvationen i två dimensioner, samt löste denna i ett specialfall. Slutligen löste vi Laplaces ekvation i sfäriska koordinater, tillämpad på gravitiationspotentialen från jorden.
Uppgifter: 78, 86, 130, 134.

Övning 11 - tisdag 14/10, kl 10-12
Vi började övningen med en omfattande uppgift som behandlade paraboliska koordinater. Vi räknade även en uppgift som gick ut på att lösa Laplaces ekvation i paraboliska koordinater i ett specialfall. Vi beräknade flödet genom en godtycklig sluten yta för ett divergensfritt vektorvält med en singularitet i origo, och visade att flödet endast beror på huruvida ytan innefattar origo eller inte. Detta resultat gäller även t.ex. för kraftfältet från en punktladdning eller -massa. Slutligen löste vi den biharmoniska ekvationen i specialfallet att lösningen är sfäriskt symmetrisk.
Uppgifter: 143, 149, 199b, 123

Övning 12 - onsdag 15/10, kl 13-15
Vi räknade blandade uppgifter på Gauss och Stokes satser samt indexräkning. På förfrågan räknade jag även en uppgift från tensorkapitlet samt uppgift 120 som blev över från övning 8.
Uppgifter: 165, 166, 193, 135, 153, 120